Заикнутся или заикнуться как правильно?

Предложенные варианты написания ошибок не имеют.

Правильно

Заикнутся – в этом слове буква «Ь» будет лишней. Поскольку данный глагол отвечает на вопрос «что сделают?», то это значит, что он стоит в форме будущего времени. Отсутствие «Ь» в вопросе указывает и на ненужность этой буквы в слове.
Если они заикнутся о деньгах, гони их прочь.
Когда они заикнутся о свадьбе, напомни им об их обещании.
Если только они заикнутся о желании пойти погулять, напомни им об их обязанностях.
Пусть только сантехники заикнуться о том, чтобы ты им еще и заплатила.

Заикнуться — чтобы удостовериться в том, что этот глагол пишется с «Ь», к нему нужно поставить вопрос «что сделать?», который имеет данную букву. Поэтому и глагол, который стоит в неопределенной форме, будет писаться с «Ь».
Только попробуй заикнуться об этом!
Я мог, конечно, заикнуться о новом велосипеде, но сейчас это было не уместно.
Заикнуться о повышении я мог только непосредственному начальнику.
Я даже заикнуться о замужестве родителям не могла.

Неправильно

Заикнутца, заикнутьца.