Оба варианта присутствуют в русском языке. Написание зависит от части речи.
Правильно
Закончено – правильный вариант написания краткого причастия, пишется с одной буквой «н». Обозначает признак действия и отвечает на вопрос «что сделано?». Как и все остальные краткие причастия, пишется с одной «н».
Платье было закончено мамой в тот же вечер.
Выступление закончено главной героиней пьесы.
Дело закончено новым сотрудником.
Повествование закончено на самом интересном месте.
Законченно – правильный вариант написания краткого прилагательного, пишется с двумя «н». Обозначает признак действия, отвечает на вопрос «каково?». Образовано от полного прилагательного «законченный». Согласно правилу, пишется с двумя «н», как и полное прилагательное, от которого оно образовано.
Творение художника целостно и законченно.
Произведение законченно и совершенно.
Выступление группы законченно и гармонично.