Основное значение слов одинаковое, но их употребление зависит от контекста предложения.
Правильно
Закончить — кончить что-либо, положить конец. Употребляется в значении завершения какого-либо действия, работы, процесса и тому подобное.
Он закончил работать ровно в шесть часов вечера.
Свой доклад тебе стоить закончить этой цитатой.
Выступление певица закончила низким поклоном.
Процесс обработки детали должен закончить наш мастер.
Окончить — этот слово является абсолютно равноправным синонимом глаголу «закончить» в значении завершения действия. Однако, только этот глагол следует употреблять в значении завершения обучения в каком-либо учреждении (окончить вуз, школу, курсы и т.п.).
Я окончил этот университет еще в 2000 году.
Школу я окончил с золотой медалью!
После школы ему пришлось окончить строительный техникум.
Я окончил работу над расчетами.
Строительство дома он окончил в прошлом году.
Неправильно
Закончил школу, закончить университет.