Правильно
Закончится – является глаголом будущего времени, соответственно, отвечает на вопрос «Что сделает?», который пишется без мягкого знака. Именно поэтому и глагол будет писаться также без мягкого знака.
Урок закончится уже через пять минут.
Мы поговорим, когда закончится передача.
«Я приду, когда собрание закончится,» — прошептала мама в трубку.
Когда закончится наша экскурсия, вы сможете самостоятельно осмотреть экспозицию еще раз.
Закончиться – инфинитив, отвечающий на вопрос «Что сделать?». Глагольный суффикс в данном слове будет писаться с мягким знаком, поскольку такая буква есть в проверочном вопросе.
Все может закончиться быстрым и резким разрывом отношений.
Застолье должно скоро закончиться, потому что уже очень поздно.
Гороскоп обещал, что черная полоса должна закончиться к концу следующего месяца.
Бой в игре должен закончиться не раньше, чем через сорок минут.
Неправильно
Закончитца, закончитьца, закончется, закончеться.