Слова являются разными формами причастий от глагола «занять».
Правильно
Занявшую — слово пишется через «у» в том случае, когда в предложении оно употребляется в форме винительного падежа единственного числа. Является причастием от глагола «занять».
Поздравляем команду, занявшую первое место на чемпионате!
Занявшую первое место девушку, мы наградили медалью.
Приветствуем Алину, занявшую первое место на прошлых соревнованиях.
Занявшею, занявшей — такое написание слово будет иметь в форме творительного падежа единственного числа. Соответственно, в предложении оно будет отвечать на вопросы «кем?», «чем?». На практике в современном языке встречается довольно редко.
Генерал начальствовал над армиею, занявшею город.
Мы гордимся нашей воспитанницей, занявшей первое место!
Занявшею пятое место Ольгой, мы все равно гордимся.
Неправильно
Заневшую, заневшею.