В зависимости от употребляемой части речи и того смысла, который должно нести слово, написание может быть как слитным, так и раздельным.
Правильно
Заодно – обстоятельственное наречие действия. Означает «вместе», «сообща». Словарное наречие, слитное написание регламентируется орфографическим словарем.
Эти два жулика всегда были заодно друг с другом.
Семья с ужасом смотрела, как пламя уничтожает их дом, а заодно и все деньги и документы.
Он принес на подпись приказ об увольнении и заодно все те документы, которые нужно было подписать.
Сестра ехала в цирк со своими детьми и заодно забрала и моих детей на представление.
За одно – числительное с предлогом «за». Слово «одно» можно заменить на прилагательное или просто извлечь из предложения. Этот прием свидетельствует, что предлог «за» и слово «одно» пишутся раздельно. В предложении обычно стоит с пояснительным словом.
За одно слово благодарности стоило выдержать этот тяжелый день.
Врачи в нашей клинике не просят материальных благодарностей от клиентов – только за одно «спасибо» они готовы спасать жизни людей.
За одно грубое слово, сказанное в порыве гнева, можно сильно поплатиться в дальнейшем.