Правильно
Запереться – это слово, имеющее форму инфинитива, следует писать с мягким знаком в суффиксе. Помочь это определить поможет вопрос «Что сделать?», который имеет при написании мягкий знак.
Тебе стоит запереться в доме до моего прихода.
Надо запереться на засов, чтобы дверь никто не мог открыть.
Ты решила на всю жизнь запереться в этих четырех стенах?
Ему очень хотелось запереться дома, чтобы никто больше не доставал ни по какому поводу.
Неправильно
Заперется, заперетьца.