Правильно
Запыхаться – данный глагол, стоящий в форме инфинитива, должен иметь мягкий знак. Эта буква необходима в глагольном суффиксе потому, что «Ь» есть в вопросе «что сделать?», который ставится к проверяемому глаголу.
Мальчишка успел запыхаться, пока добежал до сестры.
Он пришел так быстро, что даже не успел запыхаться.
Он должен был запыхаться, потому что бежал долго, но уставшим он не выглядел.
Он дышал тяжело и часто, потому что успел запыхаться, пока поднялся на восьмой этаж.
Неправильно
Запыхатся, запыхатьца.