Оба глагола являются правильными и абсолютно равноправно используются в русском языке. В большинстве случаев эти слова являются синонимами, однако, часто они несут разную смысловую нагрузку.
Правильно
Заснуть — этим словом чаще описывают процесс погружения в сон, или сам момент засыпания (засыпать).
Я никак не могу заснуть после увиденного
Не кричите, ребенок только заснул
Он засыпает даже в шумном помещении
Уснуть — это слово описывает сам факт пребывания во сне после погружения в сон.
Он долго засыпал, но все же уснул
Не кричите, дайте мне уснуть
Город уснул и на улицах стало пусто
Я долго не мог уснуть, мешали дурные мысли
Смысловая грань между этими двумя словами очень тонкая, поэтому используйте то слово, которое интуитивно больше подходит в конкретном случае.