Правильно
Застревает — единственно правильное написание глагола «застревать» в форме 3-го лица настоящего времени. Написание зафиксировано во всех орфографических словарях русского языка.
Этот ремень постоянно застревает между шкивами.
Каждый вечер он застревает в пробке.
В принтере застревает бумага при копировании.
В нашей швейной машинке постоянно застревает игла.
Неправильно
Застряёт — несмотря частое использование этого слова в разговорной речи, в словарях оно не отмечено.
Застривает, застриёт, застреёт.