Чтобы написать правильно глаголы, следует поставить к ним проверочные вопросы.
Правильно
Засветится – является глаголом будущего времени, поэтому будет отвечать на вопрос «Что сделает?». Поскольку в вопросе «Ь» нет, то и в глаголе его писать не надо. Ударение падает на второй слог, на гласную «Е» — засвЕтится.
Когда засветится фонарь, находящийся напротив окна, в комнате сразу станет светло.
Если светодиод засветится, значит, аппарат — рабочий.
Увидев кольцо, преподнесенное ей в качестве подарка, Елена засветится от счастья.
Выключатель щелкнет, и через приоткрытую дверь я увижу, как засветится гирлянда на новогодней елке.
Засветиться – неопределенная форма глагола, которая будет отвечать на вопрос «Что сделать?». Поэтому, раз вопрос имеет мягкий знак, глагол будет писаться с мягким знаком в суффиксе. Ударение приходится в глаголе на третий слог, гласную «И» — засветИться.
Мне бы не хотелось засветиться на этом празднике.
Гирлянда может засветиться только тогда, когда все лампочки будут рабочими.
При таком освещении его хрустальный глаз может засветиться.
Разведчик не должен засветиться на проваленной явочной квартире.
Неправильно
Засветитца, засветитьца, засветется, засвететься.