Слова представляют собой две формы одного глагола, поэтому отличаются написанием и ударением. Правописание можно проверить, поставив к глаголам вопросы.
Правильно
Заводится – отвечает на вопрос «что делает?», потому что является глаголом настоящего времени. Поскольку в вопросе мягкого знака нет, то и в суффиксе глагола его писать не надо. Ударение в слове приходится на гласную «О» во втором слоге – завОдится.
Машина почему-то не заводится.
Я опоздаю на работу, потому что мой автобус заглох и не заводится.
«Черепашка не заводится!» — кричал малыш, подбегая к родителям.
Хочу машинку, которая заводится, мячик, пистолет, мороженое, конфеты!
Заводиться – инфинитив, поэтому отвечает на вопрос «что делать?». Раз в вопросе есть «Ь» то и в глагольном суффиксе он будет писаться. Ударение в слове падает на гласную «И» (третий слог) – заводИться.
«Она должна заводиться, раз тут есть механизм,» — говорил папа, рассматривая новую игрушку.
Машина должна заводиться с полуоборота ключа.
«Да перестань ты заводиться с каждого слова!» — рявкнул он в ответ.
На станции технического обслуживания она твердила, что машина не хочет заводиться.
Неправильно
Заводитца, заводитьца, заводицца.