Зажечь, поджечь или разжечь как правильно?

Все три глагола означают начало горения и имеют одинаковый корень — «жечь». Во многих предложениях эти слова могут употребляться как синонимы, однако отличие контекста придают разные приставки — под, за и раз.

Правильно

Зажечь — означает «заставить гореть». Подразумевает процесс зажигания чего-либо, что может и должно гореть само (зажечь спичку, свечу, конфорку, газ).
Зажечь сырую спичку практически невозможно.
Тебе нужно зажечь все свечи в доме.
У меня не получилось зажечь конфорку с первого раза.

Поджечь — придать горение чему-либо приблизив огонь, заставить гореть, устроить поджог, вызвать горение. Приставка «под» означает приближение, поэтому контекст подразумевает приближение огня к чему-либо, с целью вызвать горение.
Нам нужно как-то поджечь сырые дрова.
Чтобы поджечь стог сена ума много не нужно.
Поджечь мусор в урне можно даже брошенным окурком.

Разжечь — заставить загореться что-либо, намеренные действия для придания устойчивого горения тому, что должно гореть. Зачастую глагол употребляется с существительными «костёр», «огонь».
Тебе не удастся разжечь костёр без бумаги.
Разжечь огонь страсти под силу не каждому.
Сухие дрова разжечь в печи проще простого.

Для лучшего понимания контекста каждого слова, можно все три глагола употребить в одном предложении.
Чтобы разжечь костёр, нужно зажечь спичку и поджечь мелкий хворост.