В русском языке возможны оба варианта написания, но значения слов будут абсолютно разными.
Правильно
Зажевать — слово происходит от глагола «жевать» и означает замять что-либо в механизме, начать жевать, заесть что-нибудь невкусное. Пишется всегда через букву «е» как и в слове «жевать».
Если не соблюдать технику безопасности, станок может зажевать рукав.
Принтер решил зажевать все чистые листы.
Дай мне зажевать чем-нибудь этот ужасный вкус таблетки.
Заживать — при написании через «и» имеем дело с глаголом, который означает процесс затягивания раны кожей. Все производные глагола также пишутся через «и».
Колотая рана постепенно начала заживать.
Приложи бинт к ране, чтобы она начала заживать.
Заживать такая рана будет очень долго.