Обидва слова вживаються в українській мові, але вони різні за значенням, хоч і мають один корінь.
Правильно
Змерзнути – слово означає відчути холод, страждати від холоду, використовується по відношенню до живих істот.
Ніна дуже змерзла на прогулянці.
Дідусь повернувся з рибалки рано, бо змерз.
У шубі і валянках змерзнути неможливо.
Замерзнути – означає стати твердим від холоду, перетворитися на кригу, загинути.
Вода у відрі замерзла.
Чоловік замерз у лісі.
Шибки замерзли від морозу.
Неправильно
Земля змерзла.
Я замерзла у парку.