Эти прилагательные имеют много одинаковых значений, однако традиционно употребляются в разных устоявшихся выражениях.
Правильно
Звериный — свойственный зверям, относящийся к зверю; жестокий, очень сильный, чрезвычайный. Это прилагательное чаще используется для характеристики чего-либо, что относится к животному миру. Также есть выражения, в которых это слово подчеркивает степень или качество чего-либо (звериная натура, интуиция, звериный аппетит, нрав и др.).
На стене гостиной висела звериная шкура.
Из леса всю ночь был слышен звериный вой.
Его звериный инстинкт помог выбраться из леса.
Он поедал продукты со звериным аппетитом.
Зверский — основное словарное значение слова — свойственный зверям. Но в современном языке это прилагательное в основном употребляется в переносном значении: очень жестокий, дикий, безжалостный, сильный.
Этот зверский поступок не останется безнаказанным.
На улице стояла зверская жара, поэтому мы сидели дома.
Зверское убийство потрясло всех жителей города.
Неправильно
Звириный, звиринный.