В словарях русского языка зафиксированы оба слова, причем оба имеют одинаковые значения.
Правильно
Заусенец — задравшаяся кожица у основания ногтя, а также выступающий над поверхностью кусочек металла (термин в металлообработке). Это существительное мужского рода и наиболее часто употребляется во втором значении. Склонение слова происходит, соответственно, исходя из формы именительного падежа.
Заусенец постоянно раздражает и мешает работать.
На детали появилось много заусенцев.
Из-за дефекта токарного станка образовались заусенцы.
| Единственное число | Множественное число | |
| Им. | заусенец | заусенцы | 
| Рд. | заусенца | заусенцев | 
| Дт. | заусенцу | заусенцам | 
| Вн. | заусенец | заусенцы | 
| Тв. | заусенцем | заусенцами | 
| Пр. | заусенце | заусенцах | 
Заусеница — существительное женского рода, имеет те же значения, что и слово «заусенец», однако наиболее часто употребляется в первом значении (задравшаяся кожа).
Заусеницу я срезал маникюрными ножницами.
Олег проколол палец острой как бритва заусеницей.
Новую деталь нужно обработать напильником и убрать заусеницы.
| Единственное число | Множественное число | |
| Им. | заусеница | заусеницы | 
| Рд. | заусеницы | заусениц | 
| Дт. | заусенице | заусеницам | 
| Вн. | заусеницу | заусеницы | 
| Тв. | заусеницей; заусеницею | заусеницами | 
| Пр. | заусенице | заусеницах | 
Неправильно
Заусенеца.
