Третьем, третьим или третем как правильно?

Написание числительного зависит от падежа.

Правильно

Третьем — числительное «третий» в форме предложного падежа. Пишется через букву «е» в последнем слоге и обязательно с мягким знаком.
О третьем сотруднике директор подумывает давно.
Сегодня мы не будем говорить о третьем участнике.
Мы давно думаем о третьем ребенке.
Гуру говорил о третьем глазе человека.

Третьим — числительное «третий» в форме творительного падежа единственного числа (мужской и средний род) или в форме винительного падежа множественного числа. Пишется через букву «и» в последнем слоге и также с мягким знаком.
Третьим образцом мы можем уже похвастаться.
Эти продукты являются третьим прикормом для малыша.
Третьим этапом развития будет следующее.
Информация по ошибке передана третьим лицам.
Возьмете меня третьим к себе?

Неправильно

Третим, третем.