Навек или на век как правильно?

В зависимости от употребляемой части речи и того смысла, который должно нести слово, написание может быть как слитным, так и раздельным.

Правильно

Навек – наречие, образованное от существительного. Означает «навсегда». Написание будет всегда слитным (словарное слово).
Мы поссорились и мне показалось, что это навек.
Он навек решил, что больше никогда в жизни не сядет за игральный стол.
Мы с тобой вместе и навек.
Клясться о чем-то навек весьма рискованно – никто не может знать, что произойдет завтра.

На век – существительное «век» с предлогом. Употребляется крайне редко. В предложении обычно стоит с прилагательным, которое можно вставить между предлогом и существительным, либо с пояснительным словом. В этом случае всегда пишется раздельно.
Я тебя заберу не на век, а всего лишь на одну минутку.
Мама мне всегда говорила: «Не переживай! На твой век работы хватит!»
На век новейших технологий слишком много надежд.
Романтизм сохраняется на век, а потом перерождается — и снова на век.