Аккуратно или осторожно как правильно?

Значение этих двух наречий разное, однако в некоторых случаях они могут использоваться как синонимы.

Правильно

Аккуратно — тщательно, прилежно и точно, с соблюдением норм и правил. Это наречие употребляется в тех случаях, когда акцент ставится на точность и бережность выполнения чего-либо.
Все работы наш мастер выполнял очень аккуратно.
В чистовик текст перепиши очень аккуратно.
Дима очень аккуратно взял старую книгу.

Осторожно — учитывая возможную опасность, не делая опрометчивых движений. Наречие зачастую используется в тех случаях, когда какое-либо действие сопровождается потенциальной опасностью. Также может употребляься в значениях: внимательно, бережно, деликатно по отношению к чему-либо.
Осторожно! Во дворе злая собака!
Проходи осторожно, доски не закреплены.
Ваня осторожно спросил о возможных проблемах.
Он очень осторожно прошел по кухне ресторана.