Правильно
Андріїв — чоловіче українське патронімічне прізвище (вказує на діда особи), утворено від церковного імені Андрій. До основи імені, додано словотворчий суфікс (їв/ів). Це один із найпоширеніших способів творення чоловічих прізвищ. Наприклад: Петрів, Данилів, Григоріїв, Матвіїв.
Андріїв, прошу вас вийти до дошки та прочитати уривок твору.
Степан Іванович Андріїв працював старшим механіком.
Андріїв був парубком гарячим, дуже високим, спортивної статури.
Андрєєв — в тих випадках, коли прізвище перекладено з російської мови на українську (наприклад в паспорті), то воно передається українською мовою відповідно до його звучання в російській (Андреев – Андрєєв). Наприклад: Киреев – Кірєєв, Малеев – Малєєв.
Дмитро Андрєєв навчаючись ще в п’ятому класі почав відвідувати гурток юного натураліста.
Якщо сьогодні, Андрєєв, батьків не буде в школі, очікуй мого візиту у себе вдома.
Петро Андрєєв працював у міській лікарні і був дуже відомим психотерапевтом.
Неправильно
Андрієв — якщо написання прізвища зафіксовано в паспорті людини, то його потрібно писати саме так.