Правильно
Архіважливий — відносний прикметник чоловічого роду в однині, відповідає на питання (який?). На початку слова стоїть префікс (архі-), за допомогою нього виражається найвищий ступінь ознаки або старшинство у церковному званні. В іменниках і прикметниках префікс (архі-) пишеться разом. Приклади: архіскладний, архіважкий.
Знайдений ще однин архіважливий артефакт древньої цивілізації ацтеків.
В навчанні існує архіважливий момент – розпочати роботу у відповідний віковий період.
Архіважливий документ виявили працівники столичної бібліотеки.
Такий архіважливий предмет, як математика, повинні викладати у школі досвідчені вчителі.
Неправильно
Архі важливий