Современные словари русского языка содержат оба варианта написания существительного, поэтому обе формы слова являются правильными.
Правильно
Борсетка — написание существительного с буквой «о» в первом слоге является общепринятым и соответствует всем литературным нормам. Такое написание зафиксировано большинством словарей русского языка. Слово является иностранным (от итал. borsetta — сумочка).
У меня новая кожаная борсетка.
Игорь забыл борсетку на крышке автомобиля.
Борсетка оказалась совсем пустой.
Барсетка — современные словари русского языка допускают написание слова через букву «а» в первом слоге. До недавнего времени такое написание считалось ошибочным.
Мне очень понравилась коричневая барсетка.
Барсетку мне подарила жена на день рождения.
Такую барсетку я больше нигде не найду.
Похожие:
Катушка или котушка как правильно? Винтаж или вентаж как правильно? Магазин или магозин как правильно? Мерещится или мерещиться как правильно? Захотеться или захотется как правильно? Не знаю или незнаю как правильно? Двадцатилетие или двадцати летие как правильно? Докатится или докатиться как правильно? Названый или названный как правильно? Ношеный или ношенный как правильно? Не был или небыл как правильно? Наложить или накласть как правильно?