Современные словари русского языка содержат оба варианта написания существительного, поэтому обе формы слова являются правильными.
Правильно
Борсетка — написание существительного с буквой «о» в первом слоге является общепринятым и соответствует всем литературным нормам. Такое написание зафиксировано большинством словарей русского языка. Слово является иностранным (от итал. borsetta — сумочка).
У меня новая кожаная борсетка.
Игорь забыл борсетку на крышке автомобиля.
Борсетка оказалась совсем пустой.
Барсетка — современные словари русского языка допускают написание слова через букву «а» в первом слоге. До недавнего времени такое написание считалось ошибочным.
Мне очень понравилась коричневая барсетка.
Барсетку мне подарила жена на день рождения.
Такую барсетку я больше нигде не найду.