Правильно
Без упину — дана словосполука складається із прийменника та іменника, відповідає на питання (без чого?) – без упину. Іменнику притаманна його граматична форма та лексичне значення (без зупинок, постійно, безперервно), є можливість вставити між словами словосполучення означення – без найменшого упину, тому слова пишемо окремо. Приклади: без відома, без жалю, без кінця.
На день міста в парку без упину кричить гучномовець.
Без упину пригати, співати, каламбурити сестри вміли по декілька годин підряд.
Вчитель без упину пояснював теорему школярам.
Сьогодні дощ іде без упину, то стихаючи, то посилюючись.
Неправильно
Безупину.