Правильно
Безмерно — выбор приставки «без» или «бес» зависит от следующей за ней буквы (в корне слова или другой приставки). По правилам русского языка, если после приставки следует гласная буква или звонкая согласная, то пишется «без», если глухая согласная — пишется «бес». В слове «безмерно» за приставкой следует корень «мер». Буква «м» является звонкой, соответственно, пишется приставка «без».
Клавдия нежданно-негаданно почувствовала себя безмерно счастливой.
Протон — безмерно малая и малоизученная часть атома.
Он безмерно любил Наталью её и задаривал дорогими подарками.
Я думаю, её одиночество сейчас должно быть безмерно.
Неправильно
Бесмерно.