Правильно
Чужом — относительное имя прилагательное мужского или среднего рода в единственном числе, отвечает на вопрос (о каком?). Соответственно вопросу поставленному к слову определяем, что это предложный падеж, перед окончанием шипящий согласный (ж). Когда перед окончанием стоит мягкий согласный – употребляем окончание (-ем), когда твердый – (-ом) Кроме того, существует смешанная разновидность склонения прилагательных, это если перед окончанием стоят буквы — (г, к, х, или шипящий). В этих случаях окончания (-ом, -ем) рассматриваются индивидуально, но можно отметить, что окончание (-ем) в большинстве случаев пишется в безударной позиции. Примеры: чужом, строгом, большом, горячем, текущем.
На чужом празднике Татьяна чувствовала себя белой вороной.
Говорят, что на чужом несчастье своего счастья не построишь.
В чужом стане Григорий всегда имел своего человека, который докладывал ему обстановку.
О чужом горе, как говорится, душа болит, но не сердечно.
Неправильно
Чужем.