Давится или давиться как правильно?

И та, и другая форма глагола является правильной, поскольку они имеют разное значение. Различаются они не только вопросами, но и ударением.

Правильно

Давится – глагол настоящего времени, отвечающий на вопрос «Что делает?». Ударным слогом является первый – дАвится. Поскольку в вопросе «Ь» отсутствует, то и в слове его писать не надо.
Он давится смехом уже пять минут подряд.
Ребенку не нравится каша, поэтому он ею давится.
Так хватает все со стола, что аж давится.
Удав так заглатывает свой обед, что кажется, будто он давится.

Давиться – неопределенная форма глагола. Отвечает на вопрос «Что делать?». И, поскольку в вопросе «Ь» присутствует, то и в глаголе он будет писаться. Ударным слогом в этом слове будет второй – давИться.
Запивай печенье соком, нечего им давиться!
Хватит давиться всухомятку!
Очень не хочется давиться бессолой и пустой кашей.
Приходится давиться тем, что осталось с выходных.

Неправильно

Давитца, давицца.