Изощрятся или изощряться как правильно?

Оба варианта написания существуют. Выбрать правильный возможно при помощи вопросов.

Правильно

Изощрятся – данное слово указывает на действие предмета и отвечает на вопрос «что сделают?», следовательно – это глагол, стоящий в форме будущего времени. В слове отсутствует мягкий знак в суффиксе, потому что в вопросе этой буквы нет.
Если они изощрятся и придумают новый способ, то, получат желаемый результат.
Подобные чувства изощрятся в нем, если он будет расти в культурной среде.
Они изощрятся в изучении этих новых наук.
Уже через сотню лет первобытные люди изощрятся сдерживать воду греблями.

Изощряться – это слово является глаголом, употребленным в неопределенной форме. Чтобы убедиться в необходимости написания буквы «Ь» в суффиксе данного слова, к нему следует поставить вопрос «что делать?». Раз вопрос пишется с мягким знаком, то и глагол будет иметь эту букву.
Они по-прежнему способны изощряться в любезностях.
Он со временем научился изощряться в саркастических выражениях.
Долго ты будешь изощряться, устанавливая тонкую леску на удилище?
За время, проведенное на острове в одиночестве, он смог изощриться в боевых навыках.

Неправильно

Изощрятца, изощрятьца, изощряцца.