Данные слова встречаются в русском языке.
Правильно
Изъяснятся – это слово следует писать без буквы «Ь». На это указывает отсутствие данной буквы в проверочном вопросе «что сделают?», который можно поставить к данному глаголу, стоящему в форме будущего времени.
Когда они изъяснятся, тогда мы сможет оценить ситуацию со всех ракурсов.
Представители партии изъяснятся с народом, пытаясь представить свою программу.
Молодые люди изъяснятся наедине.
Пусть они изъяснятся понятней, а то без толмача мы не поймем.
Изъясняться – проверяемое слово является инфинитивом, поэтому к нему можно поставить вопрос «что сделать?». Поскольку вопрос пишется с «мягким знаком», то и глагольный суффикс должен иметь эту букву.
Она пытается изъясняться, но все попытки оканчиваются неудачей.
Было понятно с первого взгляда, что изъясняться они не умеют.
Он предложил отойти в сторону, чтобы изъясняться без свидетелей.
Если вы будете знать несколько сот слов, то изъясняться вам будет куда проще.