Правильно
Кашляющий — чтобы правильно написать данное действительное причастие, нужно определить тип спряжения глагола, от которого оно образовано. Глагол «кашлять» относится к первому типу спряжения и имеет окончания -ем, -ете, -ют: кашляем, кашляет, кашляют. Соответственно, основа слова — «кашля», а при образовании новых слов к ней уже добавляются суффиксы. Действительные причастия в подобных глаголах образуются от основы настоящего времени глагола с помощью суффикса -ущ- (-ющ-): кашляющий, кашляющим, кашляющая, кашляющие и т.д.
Кашляющий диктор портил всё впечатление от передачи.
Один кашляющий в закрытом помещении может заразить других.
Периодически кашляющий мужчина стоял за мной в очереди.
Весь автобус напугал чихающий и кашляющий человек.
Неправильно
Кашлюющий, кашлящий, кашлющий, кашлеющий.