Правильно
Кратчайшие — это слово является формой превосходной степени от прилагательного «краткий». Образовано при помощи суффикса «айш» который под ударением при добавлении к основе прилагательного образует его превосходную степень со значением наивысшей степени качества. Прилагательное «краткий» пишется только через «а». Этимология слов «краткий» и «короткий» одинаковая, но в современном языке они представляют собой два разных слова.
Отдел по контролю качества будет создан в кратчайшие сроки.
В кратчайшие сроки прошу отчитаться о проделанной работе.
Через кратчайшие промежутки времени всё повторяется.
Кратчайшие дороги вели через лес, но мы пошли вдоль реки где вьется тропа.
Неправильно
Кротчайшие.