Правильно
Мечом — написание творительного падежа существительного «меч» подчиняется классическому правилу написания «о» и «ё» после шипящих в окончаниях. Согласно этому правилу, если гласная после шипящего находится под ударением, то пишется буква «о», если без ударения — «ё». В слове «мечОм» буква «о» находится под ударением.
И отрубил богатырь мечом голову дракону.
Дима бегал и махал своим пластмассовым мечом.
Ты мечом можешь поцарапать машину!
Луч солнца, словно мечом, пронзил тёмную комнату.
Неправильно
Мечём.