Написання цих слів разом чи окремо залежить від того, якою частиною мови вони виступають у реченні.
Правильно
Напам’ять — прислівник, відповідає на питання (як?), утворений за допомогою прийменника (на) та іменника (пам’ять). Сполучники утворені таким чином пишуться разом: наперед, наполовину, напочатку, наприклад.
Світлана Петрівна напам’ять знала імена батьків своїх вихованців.
Напам’ять вивчити вірш Максимко міг за лічені хвилини.
Напам’ять вивчити текст дуже важко.
На пам’ять — зазвичай прийменники з іменниками пишуться окремо, тому їх потрібно відрізняти від інших частин мови в словосполученні або реченні.
На пам’ять дід Микола не скаржився, ще й міг пригадати давно минулі справи.
На пам’ять мені чомусь не приходила жодна думка.
Пацієнти старше п’ятдесяти років часто жаліються на пам’ять.