Правильно
Надеются — правильное написание инфинитива «надеяться» в форме третьего лица настоящего времени множественного числа. Глагол относится к первому типу спряжения, соответственно, по правилам русского языка, в форме третьего лица множественного числа используется окончание «-ют» (-ут).
Они надеются на нашу помощь, мы должны помочь.
Ребята надеются получить сувениры на выпускном.
После всего этого они еще надеются на мою благосклонность?
Они надеются на безнаказанность, но этому не бывать!
Неправильно
Надеятся.