Правильно
Наизусть – словарное наречие, единственно верное написание которого – слитное (регламентируется орфографическим словарем). Означает «на память», «не смотря в текст». Ударение падает на «у» («наизУсть»).
Он всегда много текста учил наизусть и таким образом развивал память.
Нам задали выучить наизусть огромный отрывок из этой повести.
Она читала свои стихи наизусть – только представьте, ни разу не посмотрев в записи.
Мне кажется, нет никакого смысла учить столько текста наизусть.
Неправильно
На изусть.