Правильно
Напиться – представляет собой неопределенную форму глагола. Слово отвечает на вопрос «что сделать?». Именно с его помощью можно удостовериться в том, что в глаголе следует писать мягкий знак, поскольку в вопросе также есть эта буква.
Он подошел к дому и попросил напиться.
Серега пил жадно и ненасытно, большими глотками и никак не мог напиться.
Туристы решили напиться из горной речушки.
Не каждый может напиться так, чтобы утром ничего не помнить.
Неправильно
Напится, напитьца, напитцца.