Правильно
Обживаться – это слово представляет собой начальную форму глагола, к которой возможно поставить в качестве проверочного вопрос «что делать?».Мягкий знак, пишущийся в вопросе, является подсказкой к правильному написанию глагольного суффикса: глагол должен иметь «Ь».
Крестьяне все равно со временем начнут тут обживаться.
Мы сделали ей персональную мастерскую, и она быстренько стала там обживаться.
Мы с удовольствием стали обживаться на новом месте.
Нам снова пришлось обживаться на новом месте.
Неправильно
Обживатся, обживатьца, обживацца.