Правильно
Остыть, остынуть — все словари русского языка сходятся в том, что эти два слова являются абсолютно равноправными. Более того, производные формы глаголов во всех падежах являются одинаковыми, отличаются слова только в форме инфинитива. Основное значение глаголов — потеряв тепло, стать холодным; охладиться. Переносные значения также совпадают (успокоиться, утратить интерес и др.). Глагол «остынуть» является менее употребляемым.
Дай ему немного остыть, сейчас с ним бесполезно говорить.
Прежде чем продолжать готовку, дай кипятку остыть.
Мне кажется, за 20 минут двигатель не успеет остыть.
Перед использованием изделие должно хорошо остынуть.
Детали могут быстро остынуть в холодной воде.
Неправильно
Астыть, астынуть.