В орфографических словарях русского языка можно найти оба слова.
Правильно
Отряхнуть — глагол означает встряхнув, заставить упасть что-либо с чего-либо. Такое значение слову придаёт приставка «о», которая при добавлении к глаголам движения образует глаголы со значением завершения падения, движения вниз. Данное слово наиболее часто употребляется в современном языке.
Осталось только отряхнуть одежду и пойти домой.
Тебе нужно отряхнуть пыль с пальто.
Нужно отряхнуть зонт от капель прежде чем заходить.
Твою шапку нужно отряхнуть от снега.
Оттряхнуть — словарное значение совпадает с глаголом «отряхнуть», но это слово пишется с приставкой «от». Данная приставка может придавать слову немного другой контекст (со значением тщательности, завершённости, удаления, устранения).
Все заготовки нужно оттряхнуть от стружки.
После работы желательно оттряхнуть одежду от пыли.
Собака пыталась оттряхнуть плохо пахнущую воду.