Правильно
Побегу — единственно правильный вариант, если речь идет о беге (не путать со словом «победа»). Пишется только через букву «г», можно заменить на «буду бежать».
Завтра я побегу марафон
Побегу на работу, а то опаздываю
Через час побегу на автобус
Побегу вместе со своим другом
Неправильно
Побежу