Правильно
Поиграться – данное слово отвечает на вопрос «что сделать?», следовательно, является инфинитивом. Наличие в вопросе буквы «Ь» говорит о том, что и глагол следует писать с этой буквой.
Мне так хочется поиграться с этим плюшевым медведем!
Этой игрушкой разве что один раз и можно поиграться.
Малышу бы только поиграться.
Ты можешь пока поиграться со щенком, если хочешь.
Неправильно
Поигратся, поигратьца, поиграцца.