Правильно
Поиграться – данное слово отвечает на вопрос «что сделать?», следовательно, является инфинитивом. Наличие в вопросе буквы «Ь» говорит о том, что и глагол следует писать с этой буквой.
Мне так хочется поиграться с этим плюшевым медведем!
Этой игрушкой разве что один раз и можно поиграться.
Малышу бы только поиграться.
Ты можешь пока поиграться со щенком, если хочешь.
Неправильно
Поигратся, поигратьца, поиграцца.
Похожие:
Пожарный или пожарник как правильно? ДобЫча или дОбыча как правильно? ПлатО или плАто как правильно? Уймешься или уймешся как правильно? Цап-царап или цап царап как правильно? Этой или этою как правильно? Зимой или зимою как правильно? Призывник или презывник как правильно? По старинке или постаринке как правильно? Неудобно или не удобно как правильно? Уживаться или уживатся как правильно? Стучатся или стучаться как правильно?