В русском языке присутствуют обе формы слова, но используются они с предлогами.
Правильно
Полугодии — неодушевленное имя существительное среднего рода в единственном числе, отвечает на вопрос (о чем? в чем?). Начальная форма слова – полугодие. Имена существительные – изменяемая часть речи, склоняются по падежам. Данную форму слово имеет в предложном падеже, в тексте может быть использовано с предлогами о, в.
В первом полугодии дети изучают буквы и звуки.
О первом полугодии сказать было нечего – слишком тяжелым был период.
Во втором полугодии в планах стоит ремонт спальни.
Полугодие — имя существительное в такой форме может стоять в именительном или винительном падежах. При этом оно отвечает на вопрос (что?). В винительном падеже перед словом может употребляться предлог в.
Полугодие выдалось тяжелым, в основном преобладали заказы без предоплаты.
Один раз в полугодие сдается отчет об использовании ГСМ.
В полугодие один раз приглашаются акционеры для распределения доходов.