И та, и другая форма одного глагола являются правильными. Отличаются они написанием. Проверить правильность написания можно, задав вопросы к глаголам.
Правильно
Помучится – отвечает на вопрос «что сделает?», потому как является глаголом будущего времени. Слово будет писаться без мягкого знака, потому что такой буквы нет в вопросе, на который отвечает это слово.
Он еще помучится угрызениями совести, но это будет потом.
Помучится сама от сильной головной боли и поймет, каково это.
Она еще помучится с решением задач.
Она помучится в ожидании результатов вступительных экзаменов.
Помучиться – отвечает на вопрос «что сделать?», потому что является неопределенной формой глагола. Наличие мягкого знака в вопросе говорит о том, что в глаголе он также будет писаться.
Придется нам помучиться с установкой драйверов на эту модель принтера.
Пришлось им помучиться морской болезнью, которая началась у многих уже к концу первого дня.
Погода была отвратительная, и им пришлось изрядно помучиться, пока добрались до лагеря.
Придется ему помучиться на кухне, пока он научится нормально готовить.
Неправильно
Помучитца, помучитьца, помучицца.