Правильно
При этом – может выступать в роли наречия или в роли союза. В первом случае сочетание будет отвечать на вопрос, во втором – нет. Но какой бы частью речи оно не являлось, писать его всегда следует отдельно.
Супруги будут решать материальные вопросы, позабыв при этом о чувствах собственных.
При этом он говорит, что все мы подвержены серьезной опасности.
Он прыгал, стряхивая с себя налипший снег, при этом у него в кармане что-то звенело.
Он пытался вырваться из цепких лап хищника, при этом издавая какие-то странные звуки.
Неправильно
Приэтом.