Написание слова зависит от падежа, в котором слово употребляется в предложении.
Правильно
Разработке — существительное разработка относится к первому типу склонения, поэтому имеет окончание «е» в форме дательного или предложного падежа. Соответственно, в форме дательного падежа может употребляться без предлогов или с предлогами «к», «по», а в форме предложного падежа с предлогами «о», «об», «в», «на», «при».
К разработке любого приложения мы относимся крайне ответственно.
Мы использовали двуязычный шаблон при разработке вашего сайта.
Твой друг только и говорит о разработке своей уникальной программы.
Разработки — с окончанием на «и» существительное пишется в форме родительного падежа единственного числа, а также в форме именительного и винительного падежа множественного числа. Предлоги родительного падежа — от, до, для, из, без, после, около.
Для разработки этого месторождения нужны колоссальные инвестиции.
После разработки алгоритма проводится его тестирование.
Мы не сможем сделать красивый дизайн без разработки макета.
Неправильно
Розработке, розработки, расработки, росработки.