Правильно
Розыгрыш – правильный вариант написания слова, пишется без мягкого знака. Это существительное мужского рода, второго склонения. Согласно правилам русского языка мягкий знак после шипящих пишется на конце существительных только третьего склонения (ночь, рожь). Если корень слова начинается с буквы «и», то после приставки, оканчивающейся на согласную (в данном случае приставка «роз»), ее следует заменить на «ы». Поэтому в данном существительном корень слова начинается с буквы «ы».
Вчера мы смотрели фильм «Розыгрыш».
К сожалению, наш розыгрыш не удался.
Розыгрыши – любимое занятие моего друга.
Завтра придумаю новый розыгрыш для своих друзей.
Неправильно
Розыгрышь, розигрыш.