Обе формы употребляются в языке, поэтому имеют полное право на независимое существование.
Правильно
Сбесится – этот глагол не требует мягкого знака. Он стоит в неопределенной форме. Для проверки к нему нужно поставить вопрос «что сделает?», не имеющий мягкого знака. Ударение в данном слове падает на первый слог – сбЕсится.
Еще немного нервотрепки — и он сбесится окончательно.
Если он сбесится – не поздоровится всем.
Она, увидев перевернутую квартиру, сбесится окончательно.
Сбеситься – представляет собой инфинитив, к которому уместно поставить вопрос «что сделать?». Вопрос имеет мягкий знак, что указывает на необходимость написания этой буквы и в суффиксе глагола. Ударение в этом слове приходится на второй слог – сбесИться.
Что его так укусило, что он решил сбеситься на ровном месте?
После такого скандала они могут сбеситься еще больше.
А что ему мешает сбеситься?
Неправильно
Сбеситца, сбеситьца, сбесется, збесится, збеситься.