Правильно
Сегодняшнего — относительное имя прилагательное мужского рода в родительном или винительном падеже единственного числа, отвечает на вопрос (какого?). Начальная форма – сегодняшний. Прилагательное образовано суффиксальным способом от имени существительного – сегодня. Слово пишется с гласной (я), при склонении данного имени прилагательного по падежам изменяется только окончание: сегодняшний, сегодняшнего, сегодняшнему, сегодняшним, о сегодняшнем.
Сегодняшнего времени, отведенного на разбор завалов, не хватило.
Наталья так спешила, что перед уходом так и не отведала сегодняшнего яблочного пирога.
Сегодняшнего мероприятия могло и не быть.
На прилавках магазина не оказалось сегодняшнего хлеба.
Неправильно
Сегоднешнего.